Flujo Máximo

FLUJO MÁXIMO

Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar de destino a través de arcos que conectan nodos intermediarios. Los arcos tienen una capacidad máxima de flujo y se trata de enviar desde la fuente al destina la mayor cantidad posible de flujo.

Hay problemas donde lo importante es la cantidad de flujo que pasa a través de la red como por ejemplo: en las líneas de oleoductos, redes eléctricas o de transmisión de datos. Por esta razón en dichos problemas se determina el flujo máximo que pasa a través de una red.

Definiciones básicas

Flujo: Circulación de unidades homogéneas de un lugar a otro.

Capacidad de flujo: es la capacidad de unidades que pueden entrar por el nodo fuente y salir por el nodo destino.

Origen o fuente de flujo: nodo por el cual el flujo ingresa.

Destino o Sumidero de flujo: nodo por el cual el flujo sale.

Capacidades residuales: capacidades restantes unas vez que el flujo pasa el arco.

Ford Fulkerson

Para la resolución de problemas de flujo máximo  se requiere el uso del método Ford Fulkerson. Este método propone buscar caminos en los que se pueda aumentar el flujo hasta que se alcance el flujo máximo, la idea es encontrar una  ruta de penetración con un flujo positivo neto que una los nodos de origen y destino.

• El flujo es siempre positivo y con unidades enteras.

• El flujo a través de un arco es menor o igual que la capacidad.

• El flujo que entra en un nodo es igual al que sale de él.

Resolución de problema

Para resolver un problema de flujo máximo se debe seguir los siguientes pasos:

1. Se identifica el nodo origen y destino.
2. Se parte desde el nodo de origen y se escoge el arco que posea mayor flujo
3. Se identifica los nodos de transbordo.
4. Repetir como si el nodo intermediario fuera el nodo origen.
5. Se calcula "k" y las capacidades nuevas.
6. Dado el resultado se cambian las capacidades y se repite el mismo procedimiento desde el inicio.

Formulario

C_ij,ji =(C_i-K, C_j+K), donde:

C: capacidad

Ij:  índices de los nodos

K: es el minimo flujo que pasa por el nodo, se calcula como k= min(capacidades de la ruta).

Hallar el flujo máximo del siguiente problema:

Método Ford Fulkerson

El nodo de origen como se puede observar es el numero 1 de color amarillo, y el nodo de destino es el numero 5 de color azul.

Se escoge desde el nodo de origen aquel flujo que sea el mayor, en este caso es 30, y va dirigido al nodo numero 3.

Se identifica el nodo de transbordo como [30,1], 30 es la capacidad, y 1 es el nodo del cual proviene la capacidad y luego repetimos todo el proceso, como si el nodo intermediario fuese el nodo de origen. Se tiene como flujo mayor 20 del nodo numero 3 al nodo numero 5, con el nodo de transbordo como [20,5].

Ahora que hemos llegado al nodo de destino, procedemos a calcular "k" y las capacidades nuevas.

K=min(∞,30,20)
K=20

C_13,31 =(30-20, 0+20)

C_13,31 =(10, 20)

C_35,53 =(20-20, 0+20)

C_35,53 =(0, 20)

Luego de haber calculado las nuevas capacidades, es necesario reemplazarlas.

Se realiza el proceso otra vez, haciendo la ruta con los mayores flujos.

K=min(∞,20,40,10,20)
K=10

C_12,21 =(20-10, 0+10)

C_12,21 =(10, 10)

C_23,32 =(40-10, 0+10)

C_23,32 =(30, 10)

C_34,43 =(10-10, 5+10)

C_34,43 =(0, 15)

C_45,54 =(20-10, 0+10)

C_45,54 =(10, 10)


Volvemos a hacer el proceso y escogemos el camino 1,2. Como se puede observar si se tomara rumbo del nodo 2 al nodo 3 terminaría trancado, obligándose a volver al nodo origen, por lo que se toma el camino 2,5.

K=min(∞,10,20)
K=10

C_12,21 =(10-10, 10+10)

C_12,21 =(0, 20)

C_25,52 =(20-10, 0+10)

C_25,52 =(10, 10)

Se actualizan las capacidades y procedemos a resolver de nuevo. Esta vez agarraremos el camino de 1,3.

K=min(∞,10,10,10)
K=10

C_13,31 =(10-10, 20+10)

C_13,31 =(0, 30)

C_32,23 =(10-10, 30+10)

C_32,23 =(0, 40)

C_25,52 =(10-10, 10+10)

C_25,52 =(0, 20)

Y por ultimo escogemos el camino 1,4.

K=min(∞,10,10)
K=10

C_14,41 =(10-10, 0+10)

C_14,41 =(0, 10)

C_45,54 =(10-10, 10+10)

C_45,54 =(0, 40)

Reemplazando las nuevas capacidades, nos queda de la siguiente forma,   las capacidades del nodo de origen quedan como 0, por lo cual seguimos a sumar a todas las K y ahi conseguimos el flujo máximo.

Flujo Máximo = Σ K
Flujo Máximo = 20+10+10+10+10

Flujo Máximo = 60
El flujo máximo que puede pasar del nodo origen 1 hasta el nodo destino es de 60.

Método WINQSB

Los problemas de flujo máximo también se pueden resolver mediante el programa WINQSB, este contiene un conjunto de herramientas útiles para la investigación de operaciones, dentro de WINQSB esta un modulo llamado Network Modeling, que nos permite resolver problemas de flujo máximo con facilidad.

Pues simplemente abrimos Network Modeling y nos aparecerá una ventana, le damos en File y luego en New Problem.

Después nos saldrá una ventana de nombre NET Problem Specification, y seleccionamos la opción Maximal Flow Problem, ponemos un nombre al problema a resolver en Problem Title, y en Number of Nodes ponemos el numero de nodos presentes en el problema, en este caso 5.

Por ultimo procedemos a colocar los valores, que son las capacidades de un nodo a otro y le damos al botón donde sale una figura, que esta marcada y señalada en rojo.

El resultado nos aparece en donde dice Total, Net Flow From Node 1 To Node 5 =60, lo que significa que el flujo máximo que pasa del nodo 1 (nodo de origen) al nodo 5 (nodo de destino) es 60.

Referencias bibliográficas

• Sánchez, Jorge Sosa.2.4 Problema flujo máximo. http://jorgesosasanchez.wordpress.com/unidad-2/2-4-problema-flujo-maximo, recuperado el día 31/03/2013.

• Revenga, Juana M.Alonso. (2008). Flujo en Redes y Gestión de Proyectos, Teoría y ejercicios resueltos (1era ed.). España.Editorial Netbiblo. Páginas 87-89.

• Marcel Ruiz (2012).Problema de flujo máximo p1/3. http://www.youtube.com/watch?v=a697qlRsLIk, recuperado el día 31/03/2013.